Количеством движения системы называют геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек системы

Для выяснения физического смысла (70) вычислим производную от (64)

. (71)

Решая совместно (70) и (71), получим

. (72)

Таким образом, вектор количества движения механической системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс .

Вычислим производную от (72)

. (73)

Решая совместно (73) и (67), получим

. (74)

Уравнение (74) выражает следующую теорему.

Теорема: Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы.

При решении задач уравнение (74) необходимо спроектировать на координатные оси:

. (75)

Из анализа (74) и (75) вытекает следующий закон сохранения количества движения системы : Если сумма всех сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
,Q = const . (76)

В частном случае этот закон может выполнять вдоль одной из координатных осей.

Если
, то,Q z = const . (77)

Теорему об изменении количества движения целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие и газообразные тела.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Количество движения характеризует только поступательную составляющую движения. Для характеристики вращательного движения тела введено понятие главного момента количеств движения системы относительно заданного центра (кинетического момента).

Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра

. (78)

Проектируя (22) на оси координат можно получить выражение кинетического момента относительно координатных осей

. (79)

Кинетический момент тела относительно осей равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела

. (80)

Из (80) следует, что кинетический момент характеризует только вращательную составляющую движения.

Характеристикой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента устанавливает взаимосвязь между характеристикой вращательного движения и силой, вызывающей это движение.

Теорема: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра

. (81)

При решении инженерных задач (81) необходимо спроектировать на координатные оси

Их анализа (81) и (82) вытекает закон сохранения кинетического момента : Если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра (или оси) сохраняет свою величину и направление.

,

или

Кинетический момент нельзя изменить действием внутренних сил системы, но за счет этих сил можно изменить момент инерции, а следовательно угловую скорость.

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость а в момент - скорость Умножим тогда обе части равенства (32) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости

Так как интеграл от равен то в результате получим

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет

Уравнение (33) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси теорема выражается первым из этих уравнений.

Решение задач. Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.

Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.

Задача 95. Точка, масса которой кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности

Решение. По теореме об изменении количества движения Строя геометрически разность этих количеств движения (рис. 222), находим из полученного прямоугольного треугольника

Но по условиям задачи следовательно,

Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти

Задача 96. Грузу, имеющему массу и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,

Решение. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 223). На него действуют сила тяжести Р, реакция плоскости N и тормозящая сила F. Направляя ось в сторону движения, составляем первое из уравнений (34)

В данном случае - скорость в момент остановки), а . Из сил проекцию на ось дает только сила F. Так как она постоянна, то где - время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем откуда искомое время

Состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M j с массой m j . На эту точку, как известно, действуют внешние и внутренние силы .

Приложим к точке M j равнодействующую всех внутренних сил F j i и равнодействующую всех внешних сил F j e (рисунок 2.2). Для выделенной материальной точки M j (как для свободной точки) запишем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме (2.3):

Запишем аналогичные уравнения для всех точек механической системы (j=1,2,3,…,n) .

Рисунок 2.2

Сложим почленно все n уравнений:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i , (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i . (2.10)

Здесь ∑m j ×V j =Q – количество движения механической системы;
∑F j e = R e – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему;
∑F j i = R i =0 – главный вектор внутренних сил системы (по свойству внутренних сил он равен нулю).

Окончательно для механической системы получаем

dQ/dt = R e . (2.11)

Выражение (2.11) представляет собой теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему .

Проецируя векторное равенство (2.11) на декартовы оси координат, получаем выражения для теоремы об изменении количества движения механической системы в координатном (скалярном) выражении:

dQ x /dt = R x e ;

dQ y /dt = R y e ;

dQ z /dt = R z e , (2.12)

т.е. производная по времени от проекции количества движения механической системы на какую-либо ось равна проекции на эту ось главного вектора всех действующих на эту механическую систему внешних сил .

Умножая обе части равенства (2.12) на dt , получим теорему в другой дифференциальной форме:

dQ = R e ×dt = δS e , (2.13)

т.е. дифференциал количества движения механической системы равен элементарному импульсу главного вектора (сумме элементарных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему .

Интегрируя равенство (2.13) в пределах изменения времени от 0 до t , получаем теорему об изменении количества движения механической системы в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):

Q — Q 0 = S e ,

т.е. изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора (сумме полных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени .

Проецируя векторное равенство (2.14) на декартовы оси координат, получим выражения для теоремы в проекциях (в скалярном выражении):

т.е. изменение проекции количества движения механической системы на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса главного вектора (сумме полных импульсов) всех действующих на механическую систему внешних сил за тот же промежуток времени .

Из рассмотренной теоремы (2.11) – (2.15) вытекают следствия:

1. Если R e = ∑F j e = 0 , то Q = const – имеем закон сохранения вектора количества движения механической системы: если главный вектор R e всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величине и направлению и равным своему начальному значению Q 0 , т.е. Q = Q 0 .
2. Если R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0) , то Q x = const – имеем закон сохранения проекции на ось количества движения механической системы: если проекция главного вектора всех действующих на механическую систему сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту же ось вектора количества движения этой системы будет величиной постоянной и равной проекции на эту ось начального вектора количества движения, т.е. Q x = Q 0x .

Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Из (2.11) можно получить теорему Эйлера.

Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах.

Преобразуем уравнение (теорема о движении цента масс механической системы)

следующим образом:

;

;

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная от количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему .

В проекциях на декартовы оси координат:

; ; .

Беря интегралы от обеих частей последних уравнений по времени, получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему .

.

Или в проекциях на декартовы оси координат:

; ; .

Следствия из теоремы (законы сохранения количества движения)

Закон сохранения количества движения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил. Внутренние силы могут быть любыми, так как они не влияют на изменения количества движения.

Возможны два случая:

1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю , то количество движения системы постоянно по величине и направлению

2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую либо координатную ось и/или и/или , то проекция количества движения на эти же оси является величиной постоянной, т.е. и/или и/или соответственно.

Аналогичные записи можно сделать и для материальной точки и для материальной точки.

Условие задачи . Из орудия, масса которого М , вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью v . Найти скорость V орудия после выстрела.

Решение . Все внешние силы, действующие на механическую систему орудие-снаряд, вертикальны. Значит, на основании следствия из теоремы об изменении количества движения системы, имеем: .

Количество движения механической системы до выстрела:

Количество движения механической системы после выстрела:

.

Приравнивая правые части выражений, получим, что

.

Знак «-» в полученной формуле указывает на то, что после выстрела орудие откатится в направлении, противоположном оси Ox .

ПРИМЕР 2. Струя жидкости плотностью вытекает со скоростью V из трубы с площадью поперечного сечения F и ударяется под углом о вертикальную стенку. Определить давление жидкости на стену.

РЕШЕНИЕ. Применим теорему об изменении количества движения в интегральной форме к объему жидкости массой m ударяющемуся о стену за некоторый промежуток времени t .

УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО

(основное уравнение динамики тела переменной массы)

В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отдельных ненужных частей ракет, изменение массы достигает 90-95% общей начальной величины. Но не только космическая техника может быть примером динамики движения переменной массы. В текстильной промышленности происходит значительное изменения массы различных веретен, шпуль, рулонов при современных скоростях работы станков и машин.

Рассмотрим главные особенности, связанные с изменением массы, на примере поступательного движения тела переменной массы. К телу переменной массы нельзя непосредственно применить основной закон динамики. Поэтому получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы, применяя теорему об изменении количества движения системы.

Пусть точка массой m+dm движется со скоростью . Затем происходит отрыв от точки некоторой частицы массой dm движущейся со скоростью .

Количество движения тела до отрыва частицы:

Количество движения системы, состоящей из тела и оторвавшейся частицы, после ее отрыва:

Тогда изменение количества движения:

Исходя из теоремы об изменении количества движения системы:

Обозначим величину - относительная скорость частицы:

Обозначим

Величину R называют реактивной силой. Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленная выбросом газа из сопла.

Окончательно получим

-

Данная формула выражает основное уравнение динамики тела переменной массы (формула Мещерского). Из последней формулы следует, что дифференциальные уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, кроме приложенных к точке дополнительно реактивной силы, обусловленной изменением массы.

Основное уравнение динамики тела переменной массы свидетельствует о том, что ускорение этого тела формируется не только за счет внешних сил, но и за счет реактивной силы.

Реактивная сила – это сила, родственная той, которую ощущает стреляющий человек - при стрельбе из пистолета она ощущается кистью руки; при стрельбе из винтовки воспринимается плечом.

Первая формула Циолковского (для одноступенчатой ракеты)

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно под действием только одной реактивной силы. Так как для многих современных реактивных двигателей , где - максимально допускаемая конструкцией двигателя реактивная сила (тяга двигателя); - сила тяжести, действующая на двигатель, находящийся на земной поверхности. Т.е. изложенное позволяет составляющей в уравнении Мещерского пренебречь и к дальнейшему анализу принять это уравнение в форме: ,

Обозначим:

Запас топлива (при жидкостных реактивных двигателях - сухая масса ракеты (остающаяся её масса после выгорания всего топлива);

Масса отделившихся от ракеты частиц; рассматривается как переменная величина, изменяющаяся от до .

Запишем уравнение прямолинейного движения точки переменной массы в следующем виде вид

Так как формула для определения переменной массы ракеты

Следовательно, уравнения движения точки Беря интегралы от обеих частей получим

где - характеристическая скорость – это скорость, которую приобретает ракета под действием тяги после извержения из ракеты всех частиц (при жидкостных реактивных двигателях – после выгорания всего топлива).

Вынесенная за знак интеграла (что можно делать на основании известной из высшей математики теоремы о среднем) - это средняя скорость извергаемых из ракеты частиц.

Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

где a абс – абсолютное ускорение;

a отн – относительное ускорение;

a пер – переносное ускорение;

a кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

Введем обозначения
- переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Общие теоремы динамики материальной точки

При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Введем следующие динамические характеристики:

1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

. (29)

2. Импульс силы

Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени

(30).

Тогда полный импульс

. (31)

При F =const получим S =Ft .

Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.

Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.

Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.

ОУД:
. (32)

Разделяем в (32) переменные и интегрируем

. (33)

В итоге, принимая во внимание (31), получаем

. (34)

Уравнение (34) выражает следующую теорему.

Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.

При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат

Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

М
омент количества движения материальной точки относительно центра равен произведению модуля количества движения точки на плечо, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра до линии, совпадающей с вектором скорости

, (36)

. (37)

Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.

Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .

,
,

, (38)

. (39)

Вычислим производную от (39)

. (40)

Объединяя (40) и (38), окончательно получим

. (41)

Уравнение (41) выражает следующую теорему.

Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат

В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.

Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).

Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
.

Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.