Развивающие
повышать интерес учащихся к изучению геометрии;
активизировать познавательную деятельность учащихся;
формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.
Воспитательные
мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.
Ход урока
. Повторение теоретического материала по теме “Подобие треугольников”.
На протяжении многих уроков мы изучаем подобие треугольников. Давайте повторим теоретический материал.
Для каждого из следующих утверждений укажите, верно оно или нет. (слайд)
Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Любые два равносторонних треугольника подобны.
Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника,то такие треугольники подобны.
Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Эти треугольники подобны.
Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Если два угла одного треугольника равны 60 и 50 , а два угла другого треугольника равны 50 и 80 , то такие треугольники подобны.
Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.
Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от вершины.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Ключ к тесту: 1. да; 2. да; 3. да; 4. нет; 5. нет; 6. нет; 7. да; 8. нет; 9. нет; 10. да.
Форма проверки теста – взаимопроверка (слайд) (проверяют друг друга и выставляют оценки)
II . Изучение нового материала.
Как вы думаете, для чего мы изучаем подобие треугольников?
Эпиграфом к нашему уроку будут слова русского советского математика, кораблестроителя, академика А.Н.Крылова «Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умение». (слайд)
Сегодня нам, ребята, предстоит выяснить, как средствами математики можно определить высоту предмета, просто гуляя по улице и не имея с собой никаких измерительных приборов. Итак, тема нашего урока «Измерительные работы на местности».
1) Определение высоты предмета с помощью вращающейся планки. (слайд)
Используя слайд, объясните решение данной задачи.
№579 (самостоятельно)
2) Определение высоты предмета с помощью зеркала (слайд) – луч света FD , отражаясь от зеркала в точке D , попадает в глаз человеку (точку В).
№ 581 (самостоятельно) АВ = АС – ВС = 165 – 12 = 153 см, 
3) Определение высоты предмета по длине ее тени. (слайд)
Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию. В рассказе “Обряд дома Месгрейвов” он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: “… я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать”. Объясните эту задачу.
Недостатки:
нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени.
4) Определение высоты предмета по шесту (слайд)
При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в известном романе «Таинственный остров».
Читаем отрывок из романа.
«:- Сегодня нам надо измерить высоту площадки скалы Дальнего вида, — сказал инженер.
— Вам понадобится для этого инструмент? — спросил Герберт.
— Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.
Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.
Взяв прямой шест, длиной 10 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.
— Тебе знакомы зачатки геометрии? — спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
— Помнишь свойства подобных треугольников?
— Их сходственные стороны пропорциональны.
— Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим — расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же — мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же — мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.
— Понял! — воскликнул юноша. — Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
— Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.
Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам».
Преимущества способа Жюль Верна:
— можно производить измерения в любую погоду;
— простота формулы.
Недостатки: нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю.
Итог урока.
Примерные вопросы учащимся:
— Понравился ли вам урок? Что вам конкретно понравилось, а что не понравилось?
— Узнали ли вы что-то новое и полезное для себя?
— Оцените свое настроение, нарисовав соответствующий смайлик. (слайд)
Вопросы учащихся.
Слова признательности ученикам за сотрудничество.
Домашнее задание. (слайд)
п. 64, изучить определение расстояния до недоступной точки
Источники информации:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина «Геометрия 7-9»: Москва, «Просвещение», 2012 г.
2. https://ppt4web.ru/ — хостинг презентаций
В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Учащиеся учатся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевают практическими приёмами геометрических измерений и построений.
Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес учащихся к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математики в жизни человека.
По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов, теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т.д.
Цели проведения уроков “Измерение на местности”:
Задачи:
- научности;
- наглядности;
- дифференцированного подхода;
Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:
- активность учащихся;
Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:
- научить применять математические знания в повседневной практической жизни.
Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение учащимися на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала учащиеся должны научиться производить измерения, пользоваться справочниками и таблицами, свободно владеть чертёжными и измерительными инструментами. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:
7 класс
- “Провешивание прямой на местности” (п.2),
- “Измерительные инструменты” (п.8),
- “Измерение углов на местности” (п.10),
- “Построение прямых углов на местности” (п.13),
- “Задачи на построение. Окружность” (п.21),
- “Практические способы построения параллельных прямых” (п.26),
- “Уголковый отражатель” (п.36),
- “Расстояние между параллельными прямыми” (п.37 – рейсмус),
- “Построение треугольника по трём элементам” (п.38)
8 класс.
- “Практические приложения подобия треугольников” (п.64 – определение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки)
9 класс.
- “Измерительные работы” (п.100 – измерение высоты предмета, измерение расстояния до недоступной точки).
Практические работы на уроках геометрии позволяют решать педагогические задачи: ставить перед учащимися познавательную математическую проблему, актуализировать их знания и готовить к усвоению нового материала, формировать практически умения и навыки в обращении с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.. Они позволяют реализовать в обучении важнейшие принципы взаимосвязи теории и практики: практика выступает в качестве исходного звена развития теории и служит важнейшим стимулом её изучения учащимися, она является средством проверки теории и областью её применения.
Система проведения уроков “Измерение на местности” ставит цели:
- практическое применение теоретических знаний учащихся;
- активизация познавательной деятельности учащихся;
Предусматривает выполнение следующих задач:
- расширение кругозора учащихся;
- повышение интереса к предмету;
- развитие смекалки, любознательности, логического и творческого мышления;
- формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.
При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы:
- взаимосвязи теории с практикой;
- научности;
- наглядности;
- учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
- сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;
- дифференцированного подхода;
Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:
- активность учащихся;
- самостоятельность учащихся в выполнении заданий;
- практические применения математических знаний;
- уровень творческих способностей участников.
Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:
- подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;
- выявить наиболее активных и способных участников;
- воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.
- научить применять математические знания в повседневной практической жизни;
- обращаться с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.
Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:
- Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности.
- Экер – прибор для построения прямых углов на местности.
- Астролябия – прибор для измерения углов на местности.
- Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.
- Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.
Экер
Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.
Астролябия
Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.
астролябия
Практические работы
1. Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)
Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.
Практическая работа: построение прямой на местности.
Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м.
2. Измерение средней длины шага.
Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.
Практическая работа: измерение средней длины шага.
Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20 м, проверьте с помощью рулетки.
3. Построение прямых углов на местности.
Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ).
Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.
Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.
4. Построение и измерение углов с помощью астролябии.
Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.
Практическая работа:
- измерение заданных углов,
- построение углов заданной градусной меры,
- построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.
Задание: измерить градусные меры заданных углов.
5. Построение окружности на местности.
На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.
Практическая работа: построение окружности.
Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.
6. Определение высоты предмета.
а) С помощью вращающейся планки.
Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А 1 С 1 (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С 1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А 1 А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А 1 С 1 В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (угол А 1 = углу А = 90 о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;
Измерив расстояния ВА 1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А 1 С 1 столба.
б) С помощью тени.
Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева (задача №580). Можно таким образом определить высоту дерева и в 6 кл, используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.
в) С помощью зеркала.
Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально (задача №581). Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).
г) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника .
На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30 0 , то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.
д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:
один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).
7. Определение расстояния до недоступной точки.
а) Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь треугольник А 1 В 1 С 1 , у которого угол А 1 = угол А, угол С! = угол С и измеряем длины сторон А 1 В 1 и А 1 С 1 этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 , то АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1 , откуда находим АВ по известным расстояниям АС, А 1 С 1 , А 1 В 1. . Для удобства вычислений удобно построить треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы А 1 С 1: АС = 1: 1000
б) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90 0 (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник (удобнее в масштабе 1: 1000) и вычисляем АВ (ширину реки).
в) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ 1 С 1 . Точка А выбрана на берегу реки, В 1 и С у кромки поверхности воды, ВВ 1 – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС 1 , АВ 1 .
Практическая работа: определить высоту дерева, ширину реки.
В 9 классе в пункте 100 тоже рассматриваются измерительные работы на местности, но используется тема “Решение треугольников”, при этом применяется теорема синусов и теорема косинусов. Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.
1. Измерение высоты предмета .
Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН.
Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b , угол ВАС = a – b . Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:
АВ = sin (a – b ). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:
АН = АВ sin a .
№ 1036
Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10 0 к горизонту, а вершину – под углом 45 0 к горизонту. Какова высота башни? (рис.298 учебника)
Решение
Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45 0 , то и угол ВСА =45 0 , значит СА=50м.
Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда
АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10 0 , отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)
№ 1038
На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60 0 к горизонту, а потом с её основания С под углом 30 0 . Найдите высоту Н горы (рисунок 299 учебника).
Решение:
угол ЕВА = 60 0
угол КСА =30 0
Найти СР.
Решение:
Угол СВК = 30 0 , т.к. угол ЕВС =90 0 и угол ЕВА =60 0 , отсюда угол СКА =60 0 , значит уголСКА = 180 0 – 60 0 = 120 0 .
В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30 0 , уголСКА = 120 0 , то уголСАК = 30 0 , получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. уголСВК = 30 0 и уголВАС = 30 0 , значит АС = 100м (ВС = АС).
Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30 0 (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.
2. Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).
Случай 1. Измерение расстояния между точками Аи В, разделёнными препятствием (рекой).
Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу. Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В, угол АСВ = 180 0 - угол А - угол В
Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов находим искомое расстояние.
2 случай.
Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером). Точки А и В доступны.
Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – 2 АС * ВС cos угла С.
3 случай:
Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).
Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.
Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).
Практическая работа в 9 кл на уроках геометрии:
- измерить высоту предмета;
- расстояние до недоступной точки (ширину реки).
Работу провести и через подобие треугольников и через тему “Решение треугольников”.
Задание: сравнить полученные результаты.
В результате проведения цикла уроков по вопросам рассмотрения практического применения геометрии, учащиеся убеждаются в непосредственном применении математики в практической жизни человека (измерение расстояния до недоступной точки, определение высоты предмета различными способами к концу обучения в основной школе, использование измерительных приборов). Решение задач этого типа вызывает заинтересованность учащихся, которые с нетерпением ждут уроков, связанных с непосредственным измерением на местности. А задачи, предложенные в учебнике, знакомят с различными способами решения этих задач.
Литература:
- Атанасян Л.С. Геометрия 7 -9. – Москва: Просвещение, 2000 г.
Министерство образования и науки Республики Хакасия
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Устино- Копьёвская средняя общеобразовательная школа.
Секция математики.
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ
СЕЛА УСТИНКИНО
Руководитель: Романова
Елена Александровна,
учитель математики
Устинкино, 2010
Введение……………………………………………………………………………3
1. Возникновение измерений в древности
1.1 Единицы измерений разных народов…………………………………..4
1.2 Методы измерений в Древней Руси……………………………………5
1.3 Геометрия в древних практических задачах…………………………..7
1.4 Инструменты для измерения на местности……………………………7
2. Измерительные работы на местности
2.1 Построение прямой на местности (провешивание
прямой линии)…………………………………………………………...8
2.2 Измерение средней длины шага………………………………………..9
2.3 Построение прямых углов на местности………………………………9
2.4 Построение и измерение углов с помощью астролябии……………...10
2.5 Построение окружности на местности………………………………...10
2.6 Измерение высоты деревьев……………………………………….......11
3. Результаты измерений на местности…………………………………………..
3.1 Планирование пришкольного участка
3.2 Деревья – угроза для жизни
3.3 Справка - предложение в Сельский совет с. Устинкино
Заключение…………………………………………………………………………21
Литература………………………………………………………………………….22
Введение
Чтобы изготовить модель фигур, мне пришлось выполнить более 20 различных операций. И почти половина их связана с измерениями. Интересно, существуют ли профессии, в которых вообще не нужно ничего измерять с помощью приборов. Я таких не обнаружил. Не удалось мне обнаружить и школьный предмет, при изучении которого не было бы необходимости в измерениях.
«Наука начинается с тех пор,
Как начинают измерять,
Точная наука немыслима
без измерения».
Действительно, роль измерений в жизни современного человека очень велика.
В популярном энциклопедическом словаре дается определение измерению. Измерения – это действия, производимые с целью нахождения числовых значений, количественной величины в принятых единицах измерения . ¹
Измерить величину можно с помощью приборов. В повседневной жизни мы уже не можем обойтись без часов, линейки, измерительной ленты, мерного стакана, термометра, электрического счетчика. Можно сказать, с приборами мы сталкиваемся на каждом шагу.
Цель: исследование геометрических измерений на местности с. Устинкино.
· изучить историю возникновения измерений;
· ознакомиться и изготовить приборы для измерения на местности;
· произвести измерения на местности;
· сделать выводы и сформулировать свои предложения.
Гипотеза: в настоящее время измерительные работы на местности играют важную роль, так как не проводя измерения можно поплатится жизнью.
Объект исследования: измерения на местности.
Предмет исследования: способы измерений на местности.
___________________________________
21 . Популярный энциклопедический словарь. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия». Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2002 г., с. 485
1. Возникновение измерений в древности
В древности человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения.
1.1 Единицы измерений разных народов
Строители египетских пирамид эталоном длины считали локоть (расстояние от локтя до конца среднего пальца), древние арабы - волос из ослиной морды, англичане до сих пор пользуются королевским футом (в переводе с английского «фут» означает «нога»), равным длине ступни короля. Длина фута была уточнена с введением такой единицы, как шток. Это «длина ступней 16 человек, выходящих из храма от заутрени в воскресенье». Деля длину штока на 16 равных частей, получали среднюю длину ступни, ибо из церкви выходили люди разного роста. Длина фута стала равняться 30,48 см. Английский ярд также связан с размерами человеческого тела. Эта мера длины была введена королем Эдгаром и равнялась расстоянию от кончика носа его величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки. Как только сменился король, ярд удлинился, так как новый монарх был более крупного телосложения. Такие изменения длины вносили большую путаницу, поэтому король Генрих I узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом в Англии пользуются до сих пор (длина его равна 0,9144 м). Для измерения небольших расстояний употреблялась длина сустава большого пальца (в переводе с голландского «дюйм» означает «большой палец»). Длина дюйма в Англии была уточнена и стала равняться длине трех ячменных зерен, вынутых из средней части колоса и поставленных друг к другу своими концами. Из английских повестей и рассказов известно, что крестьяне часто определяли высоту лошадей ладонями.
Для измерения больших расстояний в древности была введена мера, называемая поприще, а затем взамен ее появляется верста. Название это происходит от слова «вертеть», которое сначала означало поворот плуга, а потом - ряд, расстояние от одного до другого поворота плуга при пахоте. Длина версты в разное время была различной - от 500 до 750 саженей. Да и верст было две: путевая - ею измеряли расстояние пути и межевая - для земельных участков.
Расстояние измерялось шагами почти у всех народов, но для измерения полей и других больших расстояний шаг был слишком малой мерой, поэтому была введена трость, или двойной шаг, а затем и двойная трость, или перша. В морском деле трость называлась штоком. В Англии была и такая мера, как хорошая палка пахаря, длина которой 12 – 16 футов. В Риме вводится мера, равная тысяче двойных шагов, получившая название миля (от слова «милле», «милиа» – «тысяча»).
У славян была такая мера длины, как «вержение камня» - бросок камнем, «перестрел» - расстояние, которое пролетала стрела, выпущенная из лука. Расстояния измерялись и так: «Печенегия отстояла от хазар на пять дней пути, от алан на шесть дней, от Руси на один день, от мадьяр на четыре дня и от болгар дунайских на полдня пути». В старинных грамотах о пожаловании земли можно прочитать: «От погоста во все стороны на бычачий рев». Это значило - на расстояние, с которого еще слышен рев быка. Подобные меры были и у других народов - «коровий крик», «петушиный крик». Мерой служило и время - «пока закипит котел воды». Эстонские моряки говорили, что до берега еще «три трубки» (время, затраченное на выкуривание трубок). «Пушечный выстрел» - тоже мера расстояния. Когда в Японии еще не знали подков для лошадей и обували их соломенными подошвами, появилась мера «соломенный башмак» - расстояние, на котором этот башмак изнашивался. В Испании известна мера расстояния «сигара» - путь, который может пройти человек, куря сигару. В Сибири в стародавние времена употреблялась мера расстояния «бука» - это расстояние, на котором человек перестает видеть раздельно рога быка.
3.3 Справка - предложение в Сельский совет с. Устинкино
Председателю СС с. Устинкино
ученицы 10 класса
Соленик Алены
Справка предложение
Мною производились измерения высоты электрических столбов, высота которых всегда точно равна 17 м. Измеряя высоту деревьев, получились неожиданные результаты. Высоты деревьев составляют от 19 м. до 56 м.
Считаю, что необходимо обратить внимание на высоту деревьев и уже весной подрезать деревья до высоты 19 м.
___________________ __________________
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем реферате рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, измерение высоты дерева. Приведено большое количество задач и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ .
Таким образом, цель реферата считаю достигнута, поставленные задачи выполнены. Надеюсь на мою справку – предложение обратят внимание и выполнят согласно требованию.
Литература
1. Бабанский процесса обучения: Общедидактический
аспект. – М., 1977.
2. , Балк после уроков, М., Просвещение, 1977.
3. , Балк факультатив вчера, сегодня, завтра
//Математика в школе – 1987 - №5.
4. Бенбяминов и сельское хозяйство , М., 1968.
5. , За страницами учебника
математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. – М.: Просвещение:
АО «Учеб. мет.», 1996.
6. Ганьшин измерения на местности, М., 1973 – 126 с.
7. Как не убить талант? //Народное
образование. – 1991. - №4.
8. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы . М., 1979.
9. , За страницами учебника математики. – М. -:
Просвещение, 1989.
10. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. / . –
Ростов н/Д: , 2005.
11. Иваньков геодезии, топографии и картографии.-М., 1972
12. Иванов измерения М., 1964
13. Калмыкова принципы развивающегося обучения.-
М.: Знание, 1979.
14. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика:
Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./,
, и др.; Сост. . – М.: Просвеще -
ние, 1987.
15. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика:
Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / -
несян, . – 2-е изд., пе -
раб. и доп. – М.: Просвещение, 1980.
16. Морозова о познавательном интересе. М.: Знание, серия
«Педагогика и психология», 1979.
17. Педагогическая энциклопедия: в 2-х т./ Под ред. , -
рова. – М.: Советская энциклопедия, 1964. – Т.1.
18. Педагогическая энциклопедия: в 2-х т./ Под ред. , -рова. – М.: Советская энциклопедия, 1964. – Т.2.
19. Петров математики в сельской школе: Кн. для учите -
ля. – М..6 Просвещение, 1986.
20. Погорелов. М., 1990.
21. Популярный энциклопедический словарь. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия». Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2002 г., с. 485
22. , Гашков математику. – М.,
Наука, 1989.
23. Чичигин преподавания геометрии: Планиметрия. – М.:
Учпедгиз, 1959.
24. Четверухин геметрических построений, М., Учпедгиз, 1952.
Муниципальное образовательное учреждение
«Великодворская основная общеобразовательная школа»
Работу выполнил:
Анфалов Сергей Васильевич, 8
класс
Великодворская ООШ Бабушкинского
Дата рождения: 16.06.1995
Домашний адрес: 161344, Вологодская
область, Бабушкинский р-н, д. Великий
Двор, д.76.
Руководитель:
Беляева Елена Васильевна,
учитель физики и математики
МОУ «Великодворская основная
общеобразовательная школа»
Адрес школы: 161344, Вологодская
область Бабушкинский р-н, д. Великий
д. Великий Двор
2009
ВВЕДЕНИЕ.
В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Мы учимся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевать практическими приёмами геометрических измерений и построений. Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математике в жизни человека. По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов(9 кл.), теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т. д. В школе мы довольно подробно геометрические построения с помощью циркуля и линейки и решаем много задач. А как решить такие же задачи на местности? Ведь возможно вообразить себе такой огромный циркуль, который мог бы очертить окружность школьного стадиона или линейку для разметки дорожек парка. На практике картографам для составления карт, геодезистам для того, чтобы размечать участки на местности, например, для закладки фундамента дома, приходится использовать специальные методы.
Тема нашего реферата:
Измерительные работы на местности
.
Цель:
изучение некоторых методов решения геометрических задач на местности.
Для реализации поставленной цели мы определили следующие задачи:
● Изучить теоретическую и методическую литературу по данному вопросу.
● Показать взаимосвязь математики и основ безопасности жизнедеятельности.
● Применить на практике теоретические знания.
Объектом моих наблюдений стали:
● Определение высоты предмета.
● Расстояние до недоступной точки.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. Эти же вопросы рассматриваются и в курсе основ безопасности жизнедеятельности, но все измерения проходят без специальных приборов. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:
7 класс
● «Провешивание прямой на местности» (п.2).
● «Измерительные инструменты» (п.8).
● «Измерение углов на местности» (п.10).
● «Построение прямых углов на местности» (п.13) ● « Задачи на построение. Окружность» (п.21).
● « Практические способы построения параллельных прямых» (п.26).
● «Уголовный отражатель» (п.36).
● «Расстояние между параллельными прямыми» (п.37 – рейсмус).
● «Построение треугольника по трём элементам» (п.38).
8 класс
● «Практические приложения подобия треугольников» (п.64 – измерение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки).
9 класс
● "Измерительные работы» (п.100 - измерение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки).
Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:
● РУЛЕТКА – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для построения прямых углов на местности.
● ЭКЕР – прибор для измерения прямых углов на местности.
● АСТРОЛЯБИЯ – прибор измерения углов на местности.
● ВЕХИ (ВЕШКИ) – колья, которые вбивают в землю.
● ЗЕМЛЯНОЙ ЦИРКУЛЬ (ПОЛЕВОЙ ЦИРКУЛЬ – САЖЕНЬ) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м. и шириной 2 м. для измерения на местности.
ЭКЕР.
Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них взаимно перпендикулярны.
АСТРОЛЯБИЯ.
Устройство астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.
ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА
МЕСТНОСТИ.
На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА.
І.
Измерение высоты объекта
.
Способы:
1 Измерение высоты столба при помощи плоского зеркала.
Согласно законам отражения (оптика, физика), угол падения солнечного луча равен углу отражения этого луча от зеркала.
∟3 = ∟4, где DK ┴ d, d – горизонтальная плоскость.
С – человек; b – предмет; а – зеркало.
∟ADB=∟FDF, так как углы падения и отражения солнечного луча равны, а ∟1 = ∟2 = 90º-∟3, ∟A = ∟E = 90º, значит, треугольники ABD и EFD подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует AB:AD = FE:DE EF = (AB·DE):AD, где AB – «рост» человека – расстояние от земли до глаз, EF – измеряемая высота, AD и D E – соответственно расстояния от человека, отражённого в зеркале до измеряемого предмета.
2. Измерение высоты предмета при помощи тени.
В М А
СВ – высота телеграфного столба.
МN – рост человека (1,6м.).
АМ – тень человека (3,35м.).
АВ – тень столба (15,3м.).
Человек встаёт в область тени столба так, что тень его макушки головы совпадала с концом тени от столба.
Рассмотрим треугольники АВС и АМN.
∟АВС =∟АМN = 90º. По двум равным
∟ВАС – общий. углам.
Треугольники АВС и АМN подобны.
Можно записать соотношение сторон AB:AM = CB:MN
CB = (AB·MN):AM
СВ = (15,3 · 1,6) : 3,35
СВ = 7,3м.
3. Измерение высоты предмета при помощи вехи.
Используем способ, основанный на измерении тени, отбрасываемой объектом.
● Измерить расстояние от дерева до точки, где заканчивается его тень.
● Взять веху и, наблюдая за её тенью, двигаться обратно к дереву до точки полного перекрытия их теней.
● Установить в этом месте веху, измерить расстояние до неё.
●Из подобия треугольников следует, что длина вехи относится к длине своей тени также как и высота дерева к своей.
● Определяем высоту дерева по формуле:
СЕ:BC = AD:AB, отсюда AD = (CE·AB):BC.
4. Измерение высоты предмета при помощи отсутствии тени.
При отсутствии тени высота вертикальных предметов определяется следующим образом.
Рядом с измеряемым предметом установить вертикально палку известной длины и отойти на 25 – 30 шагов. В вытянутой руке держать перед глазами вертикально карандаш или ровную палочку. Отметить на карандаше высоту вертикальной палки и измерить это расстояние. Мысленно умножить это расстояние на измеренный предмет. Умножив полученное количество раз на длину палки, можно получить искомую величину. На этом опыте мы определили, что высота столба равна 6,89 м.
II. Измерение расстояния до недоступной точки.
Способы:
1. Измерение расстояния до недоступной точки при помощи глазомера.
Отчётливо видны:
● на расстоянии 2 – 3 км – очертания больших деревьев;
● на расстоянии 1 км – стволы деревьев;
● на расстоянии 0,5 км – большие сучья;
● на расстоянии 300 м – можно различить листья на деревьях.
2. Измерение расстояния до недоступной точки с помощью подобия треугольников.
А) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90˚ (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник в масштабе 1:1000 и вычисляем АВ (ширину реки).
В 1
А 1 С 1
Запишем отношение сторон АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1
АВ = (АС·АВ 1 ) : А 1 С 1
Б) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ 1 С 1 . Точка А выбрана на берегу реки, В 1 и С у кромки поверхности воды, ВВ 1 – ширина реки.
3. Измерение расстояния до недоступной точки способом «кепки».
Для определения ширины реки (оврага) необходимо встать на берег и надвинуть кепку на лоб так, чтобы из-под козырька был виден только обрез воды на противоположном берегу. Далее не меняя наклона головы и положения кепки, следует повернуть голову вправо (влево), заметить предмет, который находится на том же берегу, что и наблюдатель, и виден из-под края козырька. Расстояние до этого предмета равно ширине реки. На опыте мы определили, что ширина реки равна 6 м.
5. Измерение расстояния до недоступной точки с помощью равенства треугольников.
Один из способов определения расстояния до недоступной точки связан с законами геометрии и основан на равенстве треугольников.
● Встать напротив предмета на противоположном берегу реки.
● Повернувшись на 90˚, пройти вдоль берега 20 метров и поставить веху О.
● В том же направлении пройти ещё столько же.
● Повернувшись на 90˚, идти пока веха О и предмет на противоположном берегу не будут на одной линии.
● Расстояние СЕ равно ширине реки ВD.
ВD равно 5,78 м.
6. Измерение расстояния до недоступной точки способом «травинки».
Наблюдатель стоит в точке А и выбирает на противоположном берегу около воды два неподвижных предмета (ориентира), затем, держа в руке травинку (проволоку), которая закрывает промежуток между ориентирами, складывают её пополам и отходят от реки до тех пор, пока расстояние между ориентирами не уложится в сложенную пополам травинку В. Расстояние от А до В равно ширине реки. АВ равно 5,96 м.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В этом реферате рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – измерением высоты предмета, определения расстояния до недоступной точки. Приведённые задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.
Литература
Атанасян Л. С. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 2003.
Юрченко О. Методы мотивации и стимулирования деятельности учащихся. // Математика в школе, №1, 2005
СD -диск «Школа безопасности».
