Слайд 2

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) , если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых aи b обозначается так: ab. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.На рисунке 1 перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещивающиеся. a b c 90° Рис. 1

Слайд 3

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой Лемма: Доказательство: Пусть a || b и ab. Докажем, что b  c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a  c, то AMC = 90°. По условию b || а,а по построению а|| МА,поэтому b ||МА.Итак,прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС,угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми bи с также равен 90°, т. е.b  c. Рис. 2 b a C A M c

Слайд 4

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а  α. Если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая ане пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости α имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость α.

Слайд 5

На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α. Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д. α a Рис. 3

Слайд 6

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Рассмотрим две параллельные прямые а и b и плоскость α, такую, что аα. Докажем, что и b  α. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рисунок 4). Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b  х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b  α. Доказательство: Рис. 4 α a b x

Слайд 7

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости α (рисунок 5,a). Докажем, что а || b. Через какую-нибудь т.M прямой b проведем прямую q, параллельную прямойа. По предыдущей теореме q  α. Докажем, что прямая q совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а|| b. Допустим, что прямые b и q не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и q, через т. M проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости α и β(рисунок 5, б). Но это невозможно, следовательно а || b. Доказательство: Рис. 5, а α a q Рис. 5, b α a M c b b

Посмотреть все слайды

Перпендикулярные

прямые в

пространстве

Определение.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярные прямые на плоскости

Сколько перпендикуляров можно провести к данной прямой через данную точку А не лежащую на прямой или точку В, лежащую на прямой?

Через каждую точку можно провести одну прямую , перпендикулярную данной.

Определение . Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Доказать, что через любую точку в пространстве можно провести прямую, перпендикулярную данной.

1. Через прямую а и точку В проведем плоскость 

2. Через точку В в плоскости  проведем прямую с, перпендикулярную прямой а.

Прямые, которые

Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.

не пересекаются и

лежат в одной плоскости,

называются параллельными

Вывод . Перпендикулярные прямые могут лежать в разных плоскостях.

Найти 2 перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости и в разных плоскостях.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна третьей.

Дано:

Док-ть:

Док-во:

1. Через произвольную точку M, не лежащую на данных прямых, проведем МА ||a и MC || с. Т.к. a ┴ c, то АМС= 90˚

3. b|| AM

2. b || a (по условию)

a || AM (по построению)

№ 116 (а) (стр. 38)

Дано:

Док-ть:

1). DC ┴ B 1 C 1

2). AB ┴ A 1 D 1

Дано:

DABC - тетраэрд

Док-ть:

• Дайте определение перпендикулярных прямых в пространстве.

2. Сформулируйте доказанную лемму.

Домашнее задание:

• Теория (стр. 34, учить)
• № 116 (б), 117

Разделы: Математика

Цели урока:

• выявить уровень овладения комплексом знаний и умений решать задачи по данной теме,
• развивать пространственное воображение, логическое мышление, внимание и память,
• воспитывать активность, умение слушать.

Оборудование урока:

• учебник Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 10-11»;
• рабочая тетрадь;
• персональный компьютер;
• мультимедийный проектор;
• интерактивная доска;
• авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point (Приложение 1 )

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний обучающихся по теме.
3. Закрепление ранее полученных знаний и отработка умений и навыков применения этих знаний при решении задач.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент урока : приветствие, проверка готовности к уроку.

2. Актуализация знаний , полученных учащимися на предыдущем уроке:

– понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
– перпендикулярность прямой и плоскости;
– свойств параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

С целью актуализации знаний один ученик выходит к доске и записывает решение задачи №119а), второй ученик – доказательство теоремы о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

Пока они готовятся, фронтальный опрос класса:

– Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве?
– В каких пределах измеряется угол между прямыми в пространстве?
– Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
– Сформулируйте лемму о двух параллельных прямых, перпендикулярных третьей.
– Установите правильную последовательность действий в доказательстве леммы.

После выполнения оперативная проверка правильности.

Учитель: Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Проверка правильности решения домашней задачи №119а (с использованием равенства треугольников).

3.Отработка умений и навыков применения теоретических знаний к решению задач

1) Устные упражнения.

№1 Прямая АВ перпендикулярна плоскости, точки М и К принадлежат этой плоскости. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой МК.

2) Письменные упражнения.

№2 В квадрате ABCD т.О – точка пересечения его диагоналей. Прямая МО перпендикулярна плоскости квадрата. Докажите, что MA = MB = MC = MD.

№3 Сторона AB параллелограмма ABCD перпендикулярна плоскости. Найдите BD, если АС = 10 см.

4. Проверка усвоения полученных знаний при выполнении теста

5. Подведение итогов урока

Записать задание на дом: п.15-16, № 118 № 120

Презентация «Перпендикулярные прямые в пространстве» является наглядным пособием для демонстрации учебного материала при изучении одноименной темы в школе. Представить фигуры в пространстве сложно с помощью доски или других стандартных инструментов учителя. Презентация - одна из наиболее предпочтительных форм демонстрации наглядного материала, где требуется изображать тела в пространстве. При создании презентации может использоваться анимация, цветное представление фигур. Также анимированное представление способствует более глубокому пониманию демонстрируемых процессов и преобразований, акцентирует внимание учеников на изучаемом предмете.

В ходе презентации ученики получают представление о прямых, которые являются перпендикулярными в пространстве, формулируется и доказывается важная лемма о перпендикулярности прямой обеим параллельным прямым при перпендикулярности одной из них, описывается решение задачи с использованием изученного материала. С помощью презентации учителю легче формировать у учеников умение решать геометрические задачи, дать представление о свойствах те в пространстве. Материал, демонстрируемый в ходе презентации, легче понимается и запоминается.

Презентация начинается с напоминанием, какой угол может образовываться между двумя прямыми, расположенными на плоскости и пересекающимися между собой. На рисунке изображается некоторая плоскость, на которой построены прямые aи b. При пересечении этих прямых образуется угол α. Величина угла может быть от 0° до 90°. Вертикальные углы, образуемые пересечением прямых, при этом равны, а смежный угол определяется формулой 180°-α. Это теоретические знания, которые необходимо вспомнить ученику перед изучением свойств прямых, перпендикулярно расположенных в пространстве. На следующем слайде, чтобы лучше продемонстрировать взаимное положение прямых в пространстве, изображается прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , на котором выделены ребра АА 1 и АВ, расположенные перпендикулярно. Формулируется определение перпендикулярных прямых, которые так называются, если угол между ними составляет 90°. Также отмечается, что в прямоугольном параллелепипеде также перпендикулярными между собой будут прямые D 1 C 1 и DD 1 . Также напоминается обозначение перпендикулярности прямых D 1 C 1 ┴ DD 1 . Далее отмечаются пары прямых в параллелепипеде, которые будут параллельны и перпендикулярны между собой. Отмечается, что перпендикулярными будут АА 1 ┴ АD, DD 1 ┴ АD, а параллельными являются АА 1 и DD 1 .

Далее представлена лемма, которая утверждает, что при перпендикулярности одной из параллельных прямых некоторой третьей прямой, то вторая параллельная прямая также будет ей перпендикулярна. Формулировка леммы выделена для запоминания в рамку и с помощью цвета. Демонстрируется ход доказательства леммы. На рисунке изображаются две параллельные прямые aи b, а также прямая с, о которой известно, что она перпендикулярна а. необходимо доказать, что перпендикулярными также являются bи c. Чтобы доказать данное утверждение, строится дополнительно точка М, котора не принадлежит ни a, ни b. Через данную точку проводится прямая МА, параллельная а. Также проводится МС, параллельная с. Перпендикулярность а к с означает, что ∠АМС=90°. Из параллельности aи b, а также параллельности а к МА следует параллельность bк МА. Так как bпараллельна МА, а с параллельна МС, и угол ∠АМС=90°, то b перпендикулярна с. Утверждение доказано.

На последнем слайде представлено описание решения задачи, в которой требуется доказать перпендикулярность ребра тетраэдра АМ и прямой PQ. В задаче дан тетраэдр МАВС, в котором АМ перпендикулярно ВС. На ребре АВ отмечена точка Р. При этом известно, что АР/АВ=2/3. А на ребре Ас отмечена точка Q, которая делит ребро в соотношении AQ/QC=2/1. Из соотношения AQ/QC=2/1 следует соотношение Δ/АC=2/3. Из найденного AQ/АC, известного соотношения АР/АВ и факта, что угол ∠А общий, следует, что треугольники Δ AРQ и ΔАВС подобны. При этом из равенства углов ∠AРQ=∠АВС, ∠AQР=∠АСВ следует и параллельность линий РQ и ВС. Зная, что стороны Ам и ВС перпендикулярны, а РQ параллельно ВС, используя исвестную лемму, можем утверждать, что АМ перпендикулярна РQ. Задача решена.

Презентация «Перпендикулярные прямые в пространстве» поможет учителю в ведении урока геометрии в школе. Также наглядный материал пригодится учителю, который проводи обучение дистанционно. Презентация может рекомендоваться ученику, самостоятельно изучающему предмет или требующему дополнительного материала для более глубокого понимания.

Тема урока: «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»

ГБПОУ КК СТТТ

Преподаватель математики

ИВАНКОВА НАДЕЖДА ПЕТРОВНА

На уроке будем производить …

Находить …

Вопрос 1 . Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Прямые в пространстве называются перпендикулярными если угол между ними равен 90 0

а

b

A

α

Вопрос 2.

Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей

а

b

с

M

A

C

α

Вопрос 3 .

Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Вопрос 4 . Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

a

Дано:а р, а q

Доказать: а α

A

l

P

q

Q

p

m

α

L

B

Вопрос 5 .

Что называется расстоянием

от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра от данной точки до плоскости

A

а

b

В

α

Вопрос 6 .

Что называется расстоянием между прямой и

параллельной ей плоскостью?

а

b

с

α

Вопрос 7 .

Что называется расстоянием между

параллельными плоскостями?

A

К

Вопрос 8 .

Какие прямые называются скрещивающимися?

b

α

а



Ответ: Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости

Вопрос 9 . Как измерить расстояние между скрещивающимися прямыми?

Расстояние равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую, параллельно первой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра (такой отрезок единственный).

Докажите теорему о трех перпендикулярах

АН – перпендикуляр к плоскости

АВ – наклонная

ВН – проекция АВ на плоскость

Если а ВН, то а АВ

а

Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах

α

A не лежит в плоскости

А D – перпендикуляр к плоскости α

АВ – наклонная

В D – проекция АВ на плоскость α

Если а АВ, то а В D

а

α

Дано: МС ┴ АВС

Найти: АС

ABCD – ромб.

Доказать: МО ┴ АВС

Дано: DA ┴ АВС

Дано: ABCD – параллелограмм, МВ ┴ АВС

Доказать: ABCD - прямоугольник

а

Вопрос 10:

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Дайте определение двугранного угла.

Как измеряется двугранный угол?

а

Вопрос 11 : Какие плоскости называются

перпендикулярными?

Вопрос 12 : Сформулируйте и докажите признак

перпендикулярности двух плоскостей.

α

Вопрос 13: Какой параллелепипед

называют прямоугольным?

Вопрос 14: Перечислите свойства прямоугольного

параллелепипеда.

Вопрос 15:

Сформулируйте и

докажите теорему о диагонали

прямоугольного

параллелепипеда.

Решите задачу:

Дано: АВС D – прямоугольник,

МВ ⊥ (АВС).

Доказать: (АМВ) ⊥ (МВС)

В пирамиде DABC известны длины ребер: АВ=АС= DB=DC =10, ВС= DA =12. найдите расстояние между прямыми DA и ВС.

Треугольники BDC и АВС равнобедренные

D М – высота ∆ BDC , D М - медиана,

АМ – медиана ∆ АВ C → АМ – высота.

∆ А BC = ∆ BDC по трем сторонам, D М = АМ → ∆ AMD равнобедренный

МК – медиана и высота.

МС ⊥ AMD → МС ⊥ МК,

AD ⊥ МК , МК – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых

AD и ВС

∆ АВМ прямоугольный, АВ=10,

ВМ=6 , АМ=8.

∆ АКМ прямоугольный, АМ=8,

АК=6 , МК=2 √ 7.

Решите задачу (по рисунку):

a

Проведем ВЕ ⊥ АС, СЕ = ЕА, так как ΔАВС - равнобедренный и высота является также медианой.

то по теореме о 3-х перпендикулярах DE ⊥ AC.

Верно ли утверждение?

Прямая а перпендикулярна к плоскости α , а прямая b

не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли

прямые а и b быть параллельными?

b ?

а



Верно ли утверждение?

Прямая а параллельна плоскости α , а прямая b

перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли

прямая, перпендикулярная к прямым а и b ?

b

а

α

Верно ли утверждение?

Все прямые, перпендикулярные к данной плоскости

и пересекающие данную прямую, лежат в одной

плоскости.

а

b

с

d

α

Верно ли утверждение?

Можно ли через точку пространства провести три

плоскости, каждые две из которых взаимно

перпендикулярны?

ИСТОЧНИКИ:

Учебник Геометрии 10 класс АтанасянЛ.С. и др. М.: Просвещение. 2001

http:// 5terka.com/node/7155

http://vremyazabav.ru/zanimatelno/rebusi/rebusi-slova/82-rebusi-po-matematike.html